leetcode|困难:4. 寻找两个正序数组的中位数

1.题目

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：

nums1.length == m
nums2.length == n
0 <= m <= 1000
0 <= n <= 1000
1 <= m + n <= 2000
$-10^6$ <= nums1[i], nums2[i] <= $10^6$

2. 题解

2.1 思路分析

思路1：
    确定中位数的组成部分midLeft和midRight,总数为奇数的midLeft=midRight
    通过利用寻找第k小的数的算法来锁定midLeft和midRight

寻找第k小的数算法

由于数列是有序的，其实我们完全可以一半儿一半儿的排除。假设我们要找第 k 小数，我们可以每次循环排除掉 k/2 个数。看下边一个例子。

假设我们要找第 7 小的数字。

我们比较两个数组的第 k/2 个数字，如果 k 是奇数，向下取整。也就是比较第 3 个数字，上边数组中的 4 和下边数组中的 3，如果哪个小，就表明该数组的前 k/2 个数字都不是第 k 小数字，所以可以排除。也就是 1，2，3 这三个数字不可能是第 7 小的数字，我们可以把它排除掉。将 1349和 45678910 两个数组作为新的数组进行比较。

更一般的情况 A[1] ，A[2] ，A[3]，A[k/2] ... ，B[1]，B[2]，B[3]，B[k/2] ... ，如果 A[k/2]<B[k/2] ，那么A[1]，A[2]，A[3]，A[k/2]都不可能是第 k 小的数字。

A 数组中比 A[k/2] 小的数有 k/2-1 个，B 数组中，B[k/2] 比 A[k/2] 小，假设 B[k/2] 前边的数字都比 A[k/2] 小，也只有 k/2-1 个，所以比 A[k/2] 小的数字最多有 k/1-1+k/2-1=k-2个，所以 A[k/2] 最多是第 k-1 小的数。而比 A[k/2] 小的数更不可能是第 k 小的数了，所以可以把它们排除。

橙色的部分表示已经去掉的数字。

由于我们已经排除掉了 3 个数字，就是这 3 个数字一定在最前边，所以在两个新数组中，我们只需要找第 7 - 3 = 4 小的数字就可以了，也就是 k = 4。此时两个数组，比较第 2 个数字，3 < 5，所以我们可以把小的那个数组中的 1 ，3 排除掉了。

我们又排除掉 2 个数字，所以现在找第 4 - 2 = 2 小的数字就可以了。此时比较两个数组中的第 k / 2 = 1 个数，4 == 4，怎么办呢？由于两个数相等，所以我们无论去掉哪个数组中的都行，因为去掉 1 个总会保留 1 个的，所以没有影响。为了统一，我们就假设 4 > 4 吧，所以此时将下边的 4 去掉。

由于又去掉 1 个数字，此时我们要找第 1 小的数字，所以只需判断两个数组中第一个数字哪个小就可以了，也就是 4。

所以第 7 小的数字是 4。

我们每次都是取 k/2 的数进行比较，有时候可能会遇到数组长度小于 k/2的时候。

此时 k / 2 等于 3，而上边的数组长度是 2，我们此时将箭头指向它的末尾就可以了。这样的话，由于 2 < 3，所以就会导致上边的数组 1，2 都被排除。造成下边的情况。

由于 2 个元素被排除，所以此时 k = 5，又由于上边的数组已经空了，我们只需要返回下边的数组的第 5 个数字就可以了。

从上边可以看到，无论是找第奇数个还是第偶数个数字，对我们的算法并没有影响，而且在算法进行中，k 的值都有可能从奇数变为偶数，最终都会变为 1 或者由于一个数组空了，直接返回结果。

所以我们采用递归的思路，为了防止数组长度小于 k/2，所以每次比较 min(k/2，len(数组) 对应的数字，把小的那个对应的数组的数字排除，将两个新数组进入递归，并且 k 要减去排除的数字的个数。递归出口就是当 k=1 或者其中一个数字长度是 0 了。

2.2 代码实现

思路1：利用第k小的数来寻找中位数

class Solution {
    private int getKth(int[] nums1, int start1, int end1, int[] nums2, int start2, int end2, int k) {
        int len1 = end1 - start1 + 1; // 计算数组1的剩余部分的长度
        int len2 = end2 - start2 + 1; // 计算数组2的剩余部分的长度

        // 递归出口
        // 让 len1 的长度小于 len2，这样就能保证如果有数组空了，一定是 len1
        if (len1 > len2) return getKth(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, k);
        // 当其中一个数组都消耗完
        if (len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];
        // k=1的边界情况
        if (k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);

        // 迁移探索k/2
        int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
        int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;

        // 缩小探索空间
        if (nums1[i] > nums2[j]) {
            return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1));
        }
        else {
            return getKth(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1));
        }
    }

    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int nums1Len = nums1.length;
        int nums2Len = nums2.length;

        // 计算中位数的位置
        int midLeftIndex = (nums1Len + nums2Len -1) / 2;
        int midRightIndex = (nums1Len + nums2Len) / 2;

        // 用寻找第k小的数的算法来找到 中位数的midLeft 和 midRight
        int midLeft = getKth(nums1, 0, nums1Len - 1, nums2, 0, nums2Len - 1, midLeftIndex+1);
        int midRight = getKth(nums1, 0, nums1Len - 1, nums2, 0, nums2Len - 1, midRightIndex+1);

        // 计算中位数
        double res = (midLeft+midRight) * 0.5;

        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();
        int[] nums1 = {1,2};
        int[] nums2 = {4};

        Double res =solution.findMedianSortedArrays(nums1,nums2);
        System.out.println(res);
    }
}

2.3 提交结果

提交结果	执行用时	内存消耗	语言	提交时间	备注
通过	1 ms	42.4 MB	Java	2022/06/08 21:12	添加备注